LENGKAP SOAL DAN PEMBAHASAN PERSAMAAN LINGKARAN

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = 13 di titik yang
    berabsisi -1 adalah ....
A. 3x – 2y – 3 = 0
B. 3x - 2y – 5  = 0
C. 3x + 2y – 9 = 0
D. 3x + 2y + 9 = 0
E. 3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :
• ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13
   (-1 -2 )² + y² + 2y + 1 – 13 = 0  
   9 + y² + 2y – 12 = 0
   y² + 2y – 3 = 0
   ( y + 3 )( y – 1 ) = 0
   y = -3 dan y = 1

• ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13
   x² – 4x + 4 + y²+ 2y + 1 = 13
   x² + y² – 4x + 2y – 8 = 0

 • a = (-4) = -2 , b =(2) = 1 , c = -8

 sehingga titik singgung (-1, -3) dan (-1, 1)

• Persamaan garis singgung :
i) Titik singgung (-1, -3)                                                  
    x1x + y1y + a( x1 + x ) + b (y1 + y ) + c = 0                 
   -x – 3y + 2 - 2x - 3 + y – 8 = 0                                              
   -3x -2y – 9 = 0                                                                        
    3x + 2y + 9 = 0

 ii) Titik singgung (-1,1)
     x1x + y1y + a( x1 + x ) + b (y1 + y ) + c = 0
    -x + y + 2 – 2x – 1 + y – 8 = 0.  
   -3x + 2y – 7 = 0.
    3x - 2y + 7 = 0

Jawaban : D

2. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsisi 5
    adalah ...
A. 4x – y – 18 = 0
B. 4x – y + 4 = 0
C. 4x – y + 10 = 0
D. 4x + y – 4 = 0
E. 4x + y – 15 = 0

Pembahasan :
• x² + y² - 2x – 6y – 7 = 0        
  5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0                                      
  25 + y2 – 10 – 6y – 7 = 0
  y² - 6y + 8 = 0  
 ( y – 4 ) ( y – 2 ) = 0
  y = 4 dan y = 2

 • a =  (-2) = -1 , b=  (-6) = -3 , c = -7

 i ) titik singgung (5,4)                                
     x1x + y1y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
    5x + 4y – 5 – x – 12 – 3y – 7 = 0
    4x + y – 24 = 0                

 ii) titik singgung  (5,2)
     x1x + y1y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
    5x + 2y – 5 – x – 6 – 3y – 7 = 0
    4x – y – 18 = 0

Jawaban : A

3. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 10x - 8y - 8 = 0 yang tegak
     lurus garis x – 3y + 5 = 0 adalah ...
A. y = -3x – 9 + 7
B. y = -3x – 11 + 7
C. y = -3x – 19 + 7
D. 3y = -3x – 9 + 7
E. 3y = x + 17+ 7

Pembahasan :
 • x – 3y + 5 = 0
  m1 . m2 = -1 sehingga m2 = -3

• y +  B = m ( x +  A ) ± r
   y +  (-8 ) = -3 (x +  (10) ) ± 7
   y – 4 = -3x – 15 ± 7
   y = -3x – 11 ± 7

Jawaban : B

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( -1, 2 ) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0
   adalah ....
A. x² + y² + 2x + 4y – 27 = 0
B. x² + y² + 2x - 4y – 27 = 0
C. x² + y² + 2x - 4y – 32 = 0
D. x² + y²  - 4x - 2y – 32 = 0
E. x² + y²  - 4x + 2y – 7 = 0

Pembahasan :
•  x + y+ 7 = 0     r = 4             
 • Persamaan lingkaran
   ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²                       
   ( x + 1 )²  + ( y – 2)² = (4 )²
    x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 32
 x² + y² + 2x – 4y – 27 = 0

Jawaban : B

5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 10 = 0 yang tegak
    lurus garis terhadap garis x + 2y +1 = 0 adalah ...
A. y = 2x – 14
B. y = 2x – 11
C. y = 2x + 5
D. y = 2x + 9
E. y = 2x + 15

Pembahasan :
•  x + 2y + 1 = 0
   y = -x - 1 / 2
    m1 =-1/m2   , sehingga  m2 = 2
• P ( -  A , -  B ) = ( -½  (2) , -  ½(-6) )
      = (-1 , 3 )

• y - 3 = m ( x + 1 ) ± r
   y = 2x + 5 ± 2
   y = 2x + 5 ± 2 . 5
   y = 2x+ 5 ± 10   >  y = 2x + 15 dan y = 2x – 5

Jawaban : E

6. Persamaan garis singgung melalui titik (-2,-1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0
    adalah ...
A. -2x – y – 5 = 0
B. x – y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x – 2y + 4 = 0
E. 2x – y + 3 = 0

Pembahasan :
• x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
 (x + 6)(x1 + 6) + (y – 3)(y1 – 3) = 32
 (x + 6)(-2 + 6) + (y – 3)(-1 – 3 ) = 32
 (x + 6)(4) + (y – 3)(-4) = 32
 4x + 24 – 4y + 12 = 32
 4x – 4y + 4 = 0
 x – y + 1 = 0

 Jawaban : B

7. Persamaan lingkaran yang padatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta
    menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif adalah ...
A. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
B. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
C. x² + y²+ 2x + 2y + 4 = 0
D. x² + y² - 4x – 4y + 4 = 0
E. x² + y² - 2x – 2y + 4 = 0

Pembahasan :
• Misalkan : P(-a,-b)
2x – 4y – 4 = 0

• titik pusat ( -2, -2 )  
(x – 2)² + (y – 2)² = r²                     
(x – (-2))² + (y – (-2))² = 0
 x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 0
x² + y² + 4x  + 4y + 4 = 0        
Jawaban : A

8. Lingkaran L = (x + 1)2 + (y – 3 )2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang     melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ...
A. x = 2 dan x = - 4
B. x = 2 dan x = - 2
C. x = -2 dan x = 4
D. x = -2 dan x = - 4
E. x = 8 dan x = -10

Pembahasan :
• (x + 1)² + (y – 3 )² = 9
   (x + 1)² + (3 – 3)2 = 9  
   (x + 1)² = 9                                    
   x + 1   = ± 3                                      
    x = 2 dan x = - 4 sehingga titik singgung (2,3) dan (-4,3)

•Titik singgung (2,3)
   (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r² 
   (x + 1)(2 + 1) +    (y – 3)( 3 – 3) = 9
   3x + 3 = 9  
x = 2
 
• Titik singgung (-4,3)
 (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r²
 (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)( 3 – 3) = 9
 -3x – 3 = 9
 -3x = 12
  x = -4

 Jawaban : A

9. persamaan lingkaran yang melalui titik (5,-1) dan berpusat di titik (2,3) adalah ...
A. x²+ y² - 4x - 6y - 12 = 0
B. x² + y² - 4x - 4y - 13 = 0
C. x² + y² - 4x - 6y - 24 = 0
D. x² + y² - 2x - 3y - 10 = 0
E. x² + y² - 4x + 6y + 25 = 0

Pembahasan :
• (x – a)² + (y – b)² =r ²
  (5 – 2)² + (-1 -3)² = r²  
   9+ 16 = r2   = r = 5

• (x – a)² + (y – b)² = r²
   (x – 2)² + (y – 3)² = 5²
    x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

Jawaban : A

10. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y – 4  = 0 yang tegak
       lurus garis 3x – 4y – 5 = 0 adalah ...
A. 4x + 3y – 5 = 0
B. 4x – 3y - 17 = 0
C. 4x + 3y – 17 = 0
D. 4x – 3y – 13 = 0
E. 4x + 3y – 13 = 0

Pembahasan :
• 3x – 4y – 5 = 0
 m1 =-1/m2     
 m1.m2  = -1    
 m2 = - 4/3
 
• x² + y² - 2x + 4y – 4  = 0
  (x – 1)² + (y + 2)² – 1 – 4 – 4 = 0
  (x – 1)² + (y + 2)² = 9 
  a = 1 , b = -2 , c = -4 , r = 3

• y – b = m(x –a) ± r √m²+1
  y + 2 = - 4/3 (x – 1) ± 3 √ (-4/3)² +1 
  y + 2 = -4/3x +  4/3 ± 3√16/9 +1   
  y + 2 = -4/3x +  4/3 ± 3 √ 25/9
  y + 2 = -4/3x +  4/3 ± 3 . 5/3
  3y + 6 = - 4x + 4 ± 15  
  4x + 3y + 17 = 0  dan  4x + 3y - 13 = 0

Jawaban : E

11. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,2) dan diameter 2√12 adalah ...
A. x² + y² - 6x + 4y – 7 = 0
B. x² + y² - 6x + 4y - 6 = 0
C. x² + y² + 6x - 4y + 7 = 0
D. x² + y² + 6x - 4y + 1  = 0
E. x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0

Pembahasan :
• d =2√12     r = √12

•  (x + 3)² + (y – 2)² = (√12 )²  
   x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 =   12
   x² + y² + 6x – 4y + 13 – 12 = 0
   x² + y² + 6x – 4y + 1 = 0
Jawaban : D

12. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 di titik (7,1) adalah ...
A. 3x – 4y – 41 = 0
B. 4x +  3x – 55 = 0
C. 4x – 5y – 53 = 0
D. 4x + 3y – 31 = 0
E. 4x – 3y – 40 = 0

Pembahasan :
• x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0
  (x – 3)² + (y + 2)² – 9 – 4 – 12 = 0
  (x – 3)² + (y + 2)²  = 25         4x + 3y – 31 = 0

• (x – 3)² + (y + 2)²  = 25
  (x -3)(7 – 3) + (y + 2)(1 + 2) = 25
  4x – 12 + 3y + 6 – 25 = 0 
4x + 3y – 31 = 0
Jawaban : D

13. Persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis y
      – 2x + 5 = 0 adalah ...
A. y = 2x - 11 ± 20
B. y = 2x - 8 ± 20
C. y = 2x – 6 ± 15
D. y = 2x - 8 ± 15
E. y = 2x – 6 ± 25

Pembahasan :

• y – 2x + 5 = 0
  m1 = m2 = 2  
                                                                                                              
• y – b = m(x – a) ± r √m² + 1
  y + 5 = 2 (x – 3) ± √80 √ 5
  y + 5 = 2x – 6  ± √400  
  y = 2x – 11 ± 20

Jawaban : A

14. persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 di titik (5,2) adalah ...
A. 3x + 2y – 10 = 0
B. 3x – 2y – 10 = 0
C. 2x + 3y – 10 = 0
D. 2x + 3y + 10 = 0
E. 2x – 3y – 10 = 0

Pembahasan :
• x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 9 – 1 + 3 = 0    
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 7 = 0  
 2x – 6 + 3y + 3 – 7 = 0  

• persamaan garis singgung di titik (5,2)
  ( x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 7
  (x – 3)(5 – 3 ) + (y + 1)(2 + 1) = 7 

2x + 3y – 10 = 0

Jawaban : C

15. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik pangkal dan melalui titik (6,8) adalah ....
A. x² + y² = 36
B. x² +  y² = 64
C. x² + y² = 100
D. x² + y² = 144
E. x² + y² = 48

Pembahasan :
• r² = 62 + 82 = 36 + 64    = 100
• Persamaan lingkaran :
  x² + y² = r²
  x² + y² = 100

Jawaban : C

16. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 16  dengan gradien - 1  adalah ...
A. - x + 2
B. - x - 1
C. x + 2
D. - x - 3
E.  x - 2

Pembahasan :
• y = mx ± r  
  y = - x ± 4
  y = - x ± 4    
  y = - x ± 2

Jawaban : A

17. Pusat lingkaran (x + 1)² + y² = 1 adalah ....
A. (-2,0)
B. (-1,0)
C. (0,1)
D. (0,-1)
E. (0,2)

Pembahasan :
•  (x + 1)² + y² = 1  
    x² + 2x + 1+ y² = 1  
    x² + y² + 2x = 0

• P( - ½ A, -½  B ) = (- ½ (2) , - ½ (0))
= ( -1 , 0)

Jawaban : B

18. Koordinat titik pusat lingkaran  x² + y² – 4y + 6y + 8 = 0 adalah ...
A. ( 2,3)
B. (-3,2)
C. (-2,3)
D. (2,-3)
E. (-2,1)

Pembahasan :
• P( -  ½A, -  ½B ) = (-½  (-4) , -  ½(6))                  
                              = ( 2, -3 )
Jawaban : D

19. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y²= 25 di titik (3, -4) adalah ...
A. 3x – 4y – 25
B. 3x – 4y – 15
C. -3x – 4y -25
D. -3x + 4y = 25
E. 3x + 4y + 15

Pembahasan :
• persamaan garis singgung :
  x1x + y1y = 25  
  3x - 4y = 25
  3x – 4y – 25 = 0

Jawaban : A

20. Pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0 adalah ....
A. - 3/2 dan ( -1, -3/8 )
B. - 1 dan ( -1, -3/8 )
C. 3/2 dan ( 1, 3/8  )
D. 5/2 dan ( 1,-3/8  )
E. - 5/2 dan ( -1, 3/8)

Pembahasan :
• 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0    
  a = -2, b =3/2 , c = 0
     
• P( - ½ A, -  ½B ) = (-  ½(-2) , - ½ (3/4))
                               = ( 1 , - 3/8 )
• r = √a² + b²  = √(-2)² + (3/2)²
     =√ 4 + 9/4  =   √25/4
     = 5/2

Jawaban : D


21. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 di titik yang berabsisi -1 adalah ....
A. 3x – 2y – 3 = 0
B. 3x - 2y – 5  = 0
C. 3x + 2y – 9 = 0
D. 3x + 2y + 9 = 0
E. 3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :
• ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13
   (-1 -2 )² + y²+ 2y + 1 – 13 = 0  
   9 + y² + 2y – 12 = 0                  
   y² + 2y – 3 = 0
   ( y + 3 )( y – 1 ) = 0
   y = -3 dan y = 1

• ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13
   x² – 4x + 4 + y²+ 2y + 1 = 13
   x² + y² – 4x + 2y – 8 = 0

• a = (-4) = -2 , b =(2) = 1 , c = -8

sehingga titik singgung (-1, -3) dan (-1, 1)

• Persamaan garis singgung :
i) Titik singgung (-1, -3)                    
    x1x + y1y + a( x1 + x ) + b (y1 + y ) + c = 0         
   -x – 3y + 2 - 2x - 3 + y – 8 = 0                    
   -3x -2y – 9 = 0                                                                                             
    3x + 2y + 9 =0.                                                       

 ii) Titik singgung (-1,1)
     x1x + y1y + a( x1 + x ) + b (y1 + y ) + c = 0
    -x + y + 2 – 2x – 1 + y – 8 = 0
    -3x + 2y – 7 = 0   
     3x - 2y + 7 = 0
Jawaban : D

22. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsisi 5
       adalah ...
A. 4x – y – 18 = 0
B. 4x – y + 4 = 0
C. 4x – y + 10 = 0
D. 4x + y – 4 = 0
E. 4x + y – 15 = 0

Pembahasan :
• x² + y² - 2x – 6y – 7 = 0
  5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0
  25 + y² – 10 – 6y – 7 = 0
  y² - 6y + 8 = 0
 ( y – 4 ) ( y – 2 ) = 0
  y = 4 dan y = 2
• a =  (-2) = -1 , b=  (-6) = -3 , c = -7

i)  titik singgung (5,4)
    x1x + y1y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
   5x + 4y – 5 – x – 12 – 3y – 7 = 0
   4x + y – 24 = 0

ii) titik singgung  (5,2)
   x1x + y1y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
  5x + 2y – 5 – x – 6 – 3y – 7 = 0
  4x – y – 18 = 0
Jawaban : A

23. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 10x - 8y - 8 = 0 yang  
       tegak lurus garis x – 3y + 5 = 0 adalah ...
A. y = -3x – 9 + 7√10
B. y = -3x – 11 + 7√10
C. y = -3x – 19 + 7√10
D. 3y = -3x – 9 + 7√10
E. 3y = x + 17+ 7√10

Pembahasan :
• r = 7                  
• x – 3y + 5 = 0      
  m1 . m2 = -1 sehingga m2 = -3

• y +  B = m ( x +  A ) ± r√ m² + 1
   y +  (-8 ) = -3 (x +  (10) ) ± 7√ -3² + 1
   y – 4 = -3x – 15 ± 7√10
   y = -3x – 11 ± 7√10
Jawaban : B

24. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x – 6y – 10 = 0 yang tegak
       lurus garis terhadap garis x + 2y +1 = 0 adalah ...
A. y = 2x – 14
B. y = 2x – 11
C. y = 2x + 5
D. y = 2x + 9
E. y = 2x + 15

Pembahasan :
•  x2 + y2 + 2x – 6y – 10 = 0
   r = 2   
•  x + 2y + 1 = 0
    m1 = m2  , sehingga  m2 = 2
• P ( -  A , -  B ) = ( -½  (2) , -½  (-6) )
        = (-1 , 3 )

• y - 3 = m ( x + 1 ) ± r√ m² + 1
   y = 2x + 5 ± 2 . √25
   y = 2x + 5 ± 2 . 5
   y = 2x+ 5 ± 10   >  y = 2x + 15 dan y = 2x – 5
Jawaban : E

25. Persamaan garis singgung melalui titik (-2,-1) pada lingkaran x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0 adalah ...
A. -2x – y – 5 = 0
B. x – y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x – 2y + 4 = 0
E. 2x – y + 3 = 0

Pembahasan :
• x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
 (x + 6)(x1 + 6) + (y – 3)(y1 – 3) = 32
 (x + 6)(-2 + 6) + (y – 3)(-1 – 3 ) = 32
 (x + 6)(4) + (y – 3)(-4) = 32
  4x + 24 – 4y + 12 = 32
  4x – 4y + 4 = 0
   x – y + 1 = 0

 Jawaban : B